Вклад Серпинского в математику

Вклад Вацлава Серпинского в математику:

Вацлав Серпинский оставил свой след в математике работами по теории множеств, аксиоме выбора, континуум-гипотезе, теории чисел, теории функций, а также топологии. Вот названия некоторых его работ:

«О суммировании ряда при условии, что представляет собой число разложений n на сумму квадратов двух целых чисел», за которую был награждён золотой медалью.
«Об одной задаче из теории асимптотических функций». В этой работе Серпинский вывел формулу, позволяющую вычислить число точек А(n) с целочисленными координатами х и у в круге х^2+у^2≤n.
Предложил новую асимптотическую формулу, дающую число целых точек в шаре х^2+у^2+z^2≤n.

В обеих работах чётко формулировалась проблема(вопрос) и решение этого вопроса доводилось до алгоритма, т.е. формулы, удобной для вычисления.

Серпинский получил большое количество важных и глубоких результатов, относящихся как к абстрактной теории множеств, так и к ее топологическим приложениям (в связи с исследованием проблемы размерности), а особенно – к проблематике, пограничной между собственно теорией множеств и математической логикой. Серпинский вместе со своими учениками изучал обширный класс предложений, эквивалентных знаменитой континуум-гипотезе Кантора и так называемой аксиоме выбора теории множеств, и геометрических следствий этой аксиомы, носящих зачастую внешне парадоксальный характер.

«Об одном случае ошибочного применения правил умножения вероятностей». В этой работе Серпинский показывает, что вероятность того, что два натуральных числа, не превосходящих n, являются взаимно простыми, равна
«О разложении целых чисел на разность квадратов двух квадратов». В этой работе он показал, что число различных представлений натурального числа n в виде разности двух квадратов равно удвоенной разности между числом чётных и числом нечётных делителей n.
«Об одной теореме Кантора». Вацлав дал найденное им независимо от Кантора доказательство этой теоремы Точки плоскости можно определять одной-единственной координатой, из чего уже легко следует эквивалентность множеств точек прямой и плоскости, и вообще пространств любого числа измерений.
«Лекции о трансфинитных числах».
«Кардинальные и порядковые числа».
«Очерк теории множеств».
«Теория чисел».
«Математический анализ», 1 том в двух частях. Эта книга была переиздана в 1923 году в Варшаве и на протяжении ряда лет служила учебным пособием для польских студентов.

Кроме того:

Основал важный математический журнал «Fundamenta Mathematicae», в котором опубликовал 262 работы. Этот журнал сыграл большую роль в развитии математики не только в Польше, но и во всех странах, где ею занимались.
В теории множеств у него были важные достижения по аксиоме выбора и по гипотезе континуума. Он изучал кривую Серпинского – замкнутую кривую, которая проходит через каждую точку квадрата. Длина этой кривой бесконечна, но она ограничивает площадь 5/12 от всего квадрата. Серпинский продолжил совместно с Лузиным исследования аналитических и проективных множеств. Его работы по функциям действительной переменной включают результаты по функциональным рядам, дифференцируемости функций и классификации Бэра.
Серпинский дал свой первый пример абсолютно нормального числа, то есть числа, в записи которого все цифры равновероятны, в какой бы системе счисления его ни записывать. Борель доказал, что такие числа существуют, а Серпинский первым придумал пример.
В обиход математиков вошли термины: Треугольная кривая Серпинского - представляет собой равносторонний треугольник с треугольными отверстиями через равные промежутки. Его можно описать двумя производственными правилами подстановки: (A → B-A-B) и (B → A + B + A). A и B повторяются и внизу делают то же самое - проводят линию.

Пирамида Серпинского - один из трехмерных аналогов треугольника Серпинского. Строится аналогично с учетом трехмерности происходящего: 5 копий начальной пирамиды, сжатой в два раза, составляют первую итерацию, ее 5 копий составят вторую итерацию, и т. д. Фрактальная размерность равна log25. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.

Ковер(квадрат) Серпинского - фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора

Губка Менгера - обобщение ковра Серпинского в трехмерное пространство. Чтобы построить губку, нужно бесконечное повторение процедуры: каждый из кубиков, из которых состоит итерация, делится на 27 втрое меньших кубиков, из которых выбрасывают центральный и его 6 соседей. То есть каждый кубик порождает 20 новых, в три раза меньших. Поэтому фрактальная размерность равна log 3 20 . Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У губки нулевой объем (так как на каждом шаге он умножается на 20/27 ), но при этом бесконечно большая площадь.

S-континуум - мощность множества вещественных чисел.

числа Серпинского - нечётное натуральное число k является числом Серпинского, если для любого натурального числа n k * 2^n+1 число является составным.

кривая Серпинского - это рекурсивно определённая последовательность непрерывных замкнутых плоских фрактальных кривых

игра Серпинского

константа Серпинского – математическая постоянная

пространство Серпинского – это конечное топологическое пространство с двумя точками, только одна из которых является закрытой. Это наименьший пример топологического пространства, которое не является ни тривиальным , ни дискретным

функции Серпинского

Список работ, опубликованных Серпинским содержит более 700 названий, среди них свыше 30 монографий, учебников и популярных книжек.