Доказательство формулы бинома Ньютона
Формула, называемая формулой бинома Ньютона:
(a + b)n = C0n anb0+ C1n an-1b + C2n a n-2b2 + ... + Cn-1n abn-1 + Cnn a0bn. (1)
В этой формуле n может быть любым натуральным числом.
Выведем формулу(1). Прежде всего, запишем:
(a + b)n = (a + b)(a + b) ... (a + b), (2)
где число перемножаемых скобок равно n. Из обычного правила умножения суммы на сумму вытекает, что выражение (2) равно сумме всевозможных произведений, которые можно составить следующим образом: любое слагаемое первой из сумм а + b умножается на любое слагаемое второй суммы a +b, на любое слагаемое третьей суммы и т.д. Hапример, при n = 3 имеем:
(a +b)(a + b)(a + b) = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb.
Из сказанного ясно, что слагаемым в выражении для (a + b)n соответствуют (взаимно-однозначно) строки длиной n, составленные из букв а и b. Среди слагаемых будут встречаться подобные члены; очевидно, что таким членам соответствуют строки, содержащие одинаковое количество букв а. Но число строк, содержащих ровно k раз букву а, равно Сnk. Значит, сумма всех членов, содержащих букву а множителем ровно k раз, равна Сnk a n-kbk. Поскольку k может принимать значения 0, 1, 2, …, n-1, n, то из нашего рассуждения следует формула (1).
Хотя формулу (1) называют именем Ньютона, в действительности она была открыта ещё до Ньютона (например, её знал Паскаль). Заслуга Ньютона состоит в том, что он нашёл обобщение этой формулы на случай не целых показателей. Именно И.Ньютон в 1664–1665 гг. вывел формулу, выражающую степень двучлена для произвольных дробных и отрицательных показателей.
Числа С0n, C1n, ..., Cnn, входящие в формулу (1), принято называть биномиальными коэффициентами, которые определяются так:
Из формулы (1) можно получить целый ряд свойств этих коэффициентов. Например, полагая а =1, b = 1, получим:
2n = C0n + C1n + C2n + C3n + ... +Cnn,
т.е. формулу (4). Если положить а = 1, b = -1, то будем иметь:
0 = С0n – C1n + C2n – C3n + ... + (-1)n Cnn
или С0n + C2n + C4n + ... = C1n + C3n + + C5n + ... .
Это значит, что сумма коэффициентов чётных членов разложения равна сумме коэффициентов нечётных членов разложения; каждая из них равна 2n-1.
Коэффициенты членов, равноудалённых от концов разложения, равны. Это свойства следует из соотношения: Сnk = Сnn-k
Интересен частный случай
(x + 1)n = C0 nxn + C1n xn-1 + ... + Ckn xn-k + ... + Cnn x0
или короче
(x +1)n = ∑Cnk xn-k.