Применение бинома Ньютона
В математике(примеры решения задач):
Задача1:
Разложить выражение (a+b)5 , используя формулу бинома Ньютона.
Решение:
По треугольнику Паскаля с пятой степенью видно, что биноминальные коэффициенты – это 1, 5, 10, 10, 5, 11, 5, 10, 10, 5, 1. То есть, получаем, что (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5a+b5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 является искомым разложением.
Ответ: (a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5.
Пример 2
Найти коэффициенты бинома Ньютона для шестого члена разложения выражения вида (a+b)10
Решение:
По условию имеем, что n=10, k=6−1=5n=10, k=6-1=5. Тогда можно перейти к вычислению биномиального коэффициента:
Ckn=C510=(10)!(5)!⋅(10−5)!=(10)!(5)!⋅(5)!==10⋅9⋅8⋅7⋅6(5)!=10⋅9⋅8⋅7⋅61⋅2⋅3⋅4⋅5=252
Ответ: Ckn=C510=252.
В физике (примеры решения технических задач):
Задача 1
Тяга воздушного винта и потребляемая им мощность вычисляются по формулам: P=apn2sD4N=bpn3sD5
Где D-диаметр винта; ns-число оборотов винта в секунду, p- плотность воздуха , a и b – коэффициенты зависящие от конструкции винта.
При ремонте винта для удаления с его концов царапин и зазубрин пришлось уменьшить его диаметр на величину ∆D, которая значительно меньше диаметраD.
Определить, на сколько снизилась тяга этого винта и потребляемая им Мощность при тех же секундных оборотах, если полагать все остальные параметры, входящие в формулы, неизменными.
Решение:
Пусть Q2=Q1+ ∆Q, T2=T1-∆T, где ∆T-искомое уменьшение долговечности.
Тогда T1/T1-∆T =(Q1+∆Q/Q1)9= (1+∆Q/Q1)9
откуда ∆T= T1[1- 1/(1+∆Q/Q1)9]=T1[1-1/1+9∆Q/Q1+36(∆Q/Q1)2+82(∆Q/Q1)3+126(∆Q/Q1)4+126(∆Q/Q1)5+82(∆Q/Q1)6+36(∆Q/Q1)7+9(∆Q/Q1)8+(∆Q/Q1)9]
Если ∆Q/Q1<<1 формула может быть упрощена, так как степени ∆Q/Q1 выше первой очень малы.
В этом случае ∆T≈T1(1-1/1+9∆Q/Q1)= 9T1 *∆Q/Q1 /1+9∆Q/Q1
Задача 2
Известно, что Т1—долговечность вала, вращающегося с постоянной угловой скоростью, при приложении к нему поперечной нагрузки , равной Q1. Определить, на сколько уменьшится долговечность вала, если нагрузка увеличится на ∆Q. Зависимость между нагрузкой и долговечностью устанавливается формулой: T1/T2=(Q2/Q1)9
Решение:
Пусть Q2=Q1+ ∆Q, T2=T1-∆T, где ∆T-искомое уменьшение долговечности.
Тогда T1/T1-∆T =(Q1+∆Q/Q1)9= (1+∆Q/Q1)9
откуда ∆T= T1[1- 1/(1+∆Q/Q1)9]=T1[1-1/1+9∆Q/Q1+36(∆Q/Q1)2+82(∆Q/Q1)3+126(∆Q/Q1)4+126(∆Q/Q1)5+82(∆Q/Q1)6+36(∆Q/Q1)7+9(∆Q/Q1)8+(∆Q/Q1)9]
Если ∆Q/Q1<<1 формула может быть упрощена, так как степени ∆Q/Q1 выше первой очень малы.
В этом случае ∆T≈T1(1-1/1+9∆Q/Q1)= 9T1 *∆Q/Q1 /1+9∆Q/Q1
В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного.
В романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «….подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».
В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»
В повести Льва Толстого «Юность» в эпизоде сдачи вступительных экзаменов в университет Николаем Иртеньевым.
В романе Замятина «Мы».
Роман Е. Н. Вильмонт получил название «Мимолетности, или Подумаешь, бином Ньютона!».
В фильмах:
Выражение «бином Ньютона» упомянуто в фильме «Сталкер» А.А.Тарковского и «Бином Ньютона» упоминается в фильме «Расписание на послезавтра».