Треугольник Серпинского
Треугольник Серпинского — фрактал, один из двумерных аналогов множества Кантора, предложенный польским математиком Серпинским в 1915 году. Также известен как «решётка» или «салфетка» Серпинского.
Построение треугольника Серпинского:
Строится путем разбиения треугольника, необязательно равностороннего – средними линиями на четыре подобных треугольника. Исключаются центральный и рекурсивно разбиваются угловые треугольники до получения площадных элементов желаемого разрешения.
Преимущество использования рекурсии очевидно - без рекурсии построение такого рисунка, состоящего более чем из шести уровней весьма проблематично, а рекурсия позволяет увеличивать количество уровней, не ограничиваясь минимальными размерами самого нижнего уровня. Например, с помощью этой программы можно увеличить количество уровней до пятнадцати при этом будет ощутима только некоторая задержка при выводе изображения на экран, а вот без рекурсии такой рисунок построить будет практически невозможно, так как изображение будет состоять более чем из тридцати одной тысячи треугольников.
Алгоритм построения треугольника Серпинского довольно прост:
1) строится большой внешний треугольник;
2) строится треугольник, получающийся при соединении середин сторон большого треугольника;
3) строятся треугольники, получающиеся аналогичнo.
Изображение состоит из однотипных элементов, связанных между собой зависимостью каждого следующего элемента от координат предыдущего.
Можно двигаться «в обратном направлении»: взять изначально «пустой» треугольник, затем достроить в нём треугольник, образованный средними линиями, затем в каждом из трех угловых треугольников сделать то же самое, и т. д. Поначалу фигуры будут сильно отличаться, но с ростом номера итерации они будут всё больше походить друг на друга, а в пределе совпадут.
Анимированное построение треугольника Серпинского:
Свойства:
1.Треугольник Серпинского замкнут.
2. Треугольник Серпинского имеет топологическую размерность 1.
3. Треугольник Серпинского имеет промежуточную (то есть, нецелую) Хаусдорфову размерность `ln3/(ln2)~~1,585`.
4. Треугольник Серпинского имеет нулевую меру Лебега.
5. Фрактальная размерность log23 ≈ 1,584962... .
6. Треугольник Серпинского состоит из трех копий самого себя, каждая в два раза меньше. Взаимное расположение их таково, что если уменьшить клеточки сетки в два раза, то число квадратиков, пересекающихся с фракталом, утроится. То есть N(δ/2) = 3N(δ). Если сначала размер клеток был 1, а с фракталом пересекалось N0 из них (N(1) = N0), то N(1/2) = 3N0, N(1/4) = 32N0, ..., N(1/2k) = 3kN0. Отсюда получается, что N(δ) пропорционально , и по определению фрактальной размерности она равна как раз log23.
6. Треугольник Серпинского имеет нулевую площадь. Это означает, что в фрактал не влезет ни один, даже очень маленький, кружок. То есть, если отталкиваться от построения первым способом, из треугольника «вынули» всю внутренность: после каждой итерации площадь того, что остается, умножается на 3/4, то есть становится всё меньше и стремится к 0. Это не строгое доказательство, но другие способы построения могут только усилить уверенность, что это свойство всё-таки верно.
7. Неожиданная связь с комбинаторикой. Если в треугольнике Паскаля с 2n строками покрасить все четные числа белым, а нечетные — черным, то видимые числа образуют треугольник Серпинского (в некотором приближении).
Источники информации:
